《和声法则》第三十一讲 音乐理论平台上计算十二平均律

scz

   “音乐理论平台”的理论体系已经解决了若干有关音乐理论的基础问题，这些内容早已突破了传统和声理论的范围。读者完全能够在音乐理论平台上处理如同音程、和弦、确定和弦公式甚至是五线谱与简谱转换等等这些比较繁琐的音乐理论基础内容，运用”音乐理论平台”使它变得即简单易懂又有理有据更是观念认识上的转变。《音乐理论宝典》就是音乐理论平台理论体系的典型应用，已经介绍过的内容并不是其功能的全部，由于它是模块化设计思路因此能够开发的潜力还很大，这一点笔者已经做过介绍。以下即将介绍的内容对于读者来说就是在“音乐理论平台”上新功能开发思维方式的范例，使读者能够继续使用《音乐理论宝典》开发它的具有读者个人风格的新功能。

　　　十二平均律是当今音律的主流，它的理论应用已经研究的相当透彻，但是它的具体参数和推算过程比较复杂不太好理解对于许多读者来说是一个学习难点内容，如果把88个钢琴上各键的频率都记清楚也不是一件容易的事情。虽然它不是许多学习键盘的读者首要关心的重点知识，却是个音乐理论最最基本的内容，所以读者也应当掌握它的计算方法而“音乐理论平台”的理论体系可以让读者不需要死记硬背就能够在“音乐理论平台”上准确的加以解决，就是在音乐理论平台上用运用“位置编号”只要已知任何一个键的声音频率就能够正确的计算出所需要的所有键的频率，例如已知标准A（a1）的频率是440赫兹通过它和音乐理论平台上的位置编号就可以正确的计算出任何键的频率值。
　　　
　　　接下来与读者共同讨论如何在音乐理论平台上求解相关音级的频率值从而达到可以在“音乐理论宝典”上加以计算。在正式论述之前先来介绍十二平均律形成的基本要点。
　　　
　　　十二平均律并不是算术平均值而是与指数有关。请读者先来记住两个运算符号主要是为后续叙述作准备，不能理解为要求读者死记硬背。
　　　“∧”表示乘方运算。如：2∧1/12 表示 2 开 12 次方。2∧3 表示 2 的3次方。
　　　“mod” 表示求余数运算。如：15 mod 12 = 3 表示 15 除以 12 余数是 3 。
　　　在十二平均律中任意两个相邻的八度音程的频率都是 2 倍关系，如：a1 频率是440 赫兹那么 a2 一定是 880 赫兹，它们构成2 倍关系。
　　　如果 c1的频率值是 F，那么 c2 的频率值就是 2F而八度之间的若干个不同音级的频率值也是有规律的出现。
　　　设：在钢琴上c1=F, c2=2F。八度之内其它音级的频率值计算方法如下：
　　　 #c1=F×2∧1/12；
　　　 d1=F×2∧2/12；
　　　 #d1=F×2∧3/12；
　　　 e1=F×2∧4/12；
　　　 f1=F×2∧5/12；
　　　 #f1 =F×2∧6/12；
　　　g1=F×2∧7/12；
　　　 #g1=F×2∧8/12；
　　　 a1=F×2∧9/12；
　　　 #a1=F×2∧10/12；
　　　 b1=F×2∧11/12；
　　　 两端的两个：
    c1=F×2∧0/12=F×1=F；这是已知条件  c1=F。
　　　 c2 =F×2∧12/12=F×2=2F；相对于c1, c2是一个高八度音程频率是 2F。
　　　规律明显：相差一个半音音程指数分子相差“1”。
　　　推论：连续相差七个半音音程指数分子相差“7”。而其它部分均为常数。
　　　这样的12 个音名在“音乐理论平台”上是存在的而在“音乐理论宝典”上正好是A 塔板的一组12个数据。在这组音级的数据中随着音级的逐渐升高，频率也随着逐渐升高而指数的分子也按等差级数在升高，每升高一个半音指数增加“1”。这种数学上的规律相当简单，但是在“音乐理论平台”上如果是 Ⅰ= C 从“音乐理论平台”可以得出：C 的位置编号是 0 ，#C 的位置编号是 —5 ，D的位置编号是 +2 · · ·。表面上看起来在音乐理论平台上的音名与位置编号的对应关系有些杂乱无章不如上述音级的频率与指数关系那么清楚，实际上它们之间存在着内在的逻辑关系完全可以运用数学计算加以解决，笔者在进行音乐理论平台的研究过程中充分的考虑它的这层功能因素——用位置编号计算频率，在读书笔记中也有运算过程的详细记载，看似毫不相关的位置编号与频率的指数能够联系在一起解决这一难题显示出音乐理论平台上具有传统音乐理论所不具备的理论和功能上的优势。
　　　首先，有一个关键性的问题读者必须清楚，在音乐理论平台上相邻的两个音名是严格按着纯五度音程关系排列，请记住纯五度音程包含有七个半音的音程。其次，如果音乐理论平台上的12 个音名是在同一个八度之内，那么它们之间的最大音程不能超过 12 个半音【注1】。这两个因素是解决问题的基础，那么如果说在“音乐理论宝典”上计算两个音名之间的音和程的半音个数超过12 个怎么办呢？如：在“音乐理论宝典”上G到C 的位置编号相差是“1”得出它们之间相差七个半音关系。但是从D到C 位置编号相差 2 ，按理说应当是 2× 7 =14 个半音超过了12 个半音。这样的情况如何计算呢？
　　　下面给出有定理意义定理的结论：
　　　超过了量程(12个半音的音程)的数值必须进行求余计算。（具体应用注意范例1）
　　　
　　　范例1、在“音乐理论平台上”计算A 到G 和D到 G的半音音程数量。
　　　
　　　计算过程如下：
　　　“音乐理论宝典”的初始化：
　　　【root】=【1】=【Ⅰ】= 【0】=【C】；
　　　顺时针移动 B、C、D 塔板 30 度得到：
　　　 【root】=【1】=【Ⅰ】= 【0】=【G】；指向已知条件【G】 位置编号是【0】。
　　　在A和B塔板上得出：
　　　【D】=【+1】；D 的位置编号是 +1 ；
　　　【A】=【+2】；A的位置编号是 +2 ；
　　　先来计算 D 到 G 的音程；
　　　【D】—【G】= 【+1】—【0】= +1；
　　　音程的值是：
　　　+1× 7=+7 个半音音程；
　　　再来计算 A 到 G 的音程：
　　　【A】—【G】= 【+2】—【0】= +2；
　　　音程的值是；
　　　+2 × 7=+14；这个数值（+ 14）明显超出了12 因此必须对它进行二次计算。这个关键的二次计算就是求余运算：
　　　14 mod 12 = 2 ；
　　　这个结论明确告诉读者：A到 G在一个八度内的音程是两个半音（与实际情况惊人的一致）。
　　　
　　　范例1 的实际意义并不在于求解出某音程而是证明了由位置编号完全可以计算出半音个数并得到对应声音频率的指数分子。接下来是如何计算具体音级的频率值。
　　　计算频率的公式如下：
　　　设：需要求解频率位置编号为x 对应的频率值是y。已知的频率F。
　　　y=F× 2∧(((x×7) mod 12)/12)；
　　　这是一个属于原创内容极为简单的公式，它的常数只有2、12和7 共三个。运用这个没有超出义务教育范围的计算公式就可以顺利完成对频率的计算。  
　　　在这个计算公式中 x 是相对位置编号，它可以在“音乐理论宝典”上直接得到，F是已知某一个音的频率。通过计算器或在计算机上在线计算器计算就可以准确的算出 y 值。请读者认真阅读以下范例，并运用读者手中的《音乐理论宝典》进行具体操作。
　　　
　　　范例2、已知：钢琴上标准A（a1）的频率是440 赫兹，求：b1的频率是多少赫兹？
　　　
　　　解决过程如下：
　　　“音乐理论宝典”初始化：
　　　【root】=【1】=【Ⅰ】= 【0】=【C】；
　　　把已知条件 a1 送上“音乐理论宝典”A 塔板的音名A。把 b1 送上“音乐理论宝典”A 塔板的音名B。
　　　顺时针移动 B、C、D塔板 90度得到：
　　　【root】=【1】=【Ⅰ】= 【0】=【A】；指针指向已知数据【A】内含a1=440 赫兹 。
     【B】=【+2】；在A 塔板上查到b1 的位置编号是【+2】。
　　　 相对位置编号 ：
　　　 x=【B】=【+2】；
　　　由已知条件 “a1的频率是440 赫兹” 得到：
　　　F =440   赫兹。
　　　x=+2 ；
　　　代入公式y=F× 2∧(((x×7) mod 12)/12)得到：
　　　y= 440 × 2∧(((2×7）mod 12）/12）
　　　y= 440 × 2∧((14mod 12）/12）
　　　y=440 × 2∧（2/12） ； 在计算器上计算。
　　　y=493.8833012561  赫兹
　　　这个结果精度很高并与理论值相同。
　　　
　　　范例3、 钢琴上a1的频率是440 赫兹，求：#a1的频率是多少赫兹？
　　　
　　　解决过程如下：
　　　“音乐理论宝典”初始化：
　　　【root】=【1】=【Ⅰ】= 【0】=【C】；
　　　把已知条件 a1 送上“音乐理论宝典”A 塔板的音名A。把 #a1 送上“音乐理论宝典”A 塔板的音名#A|bB。
　　　顺时针移动 B、C、D塔板 90度得到：
　　　【root】=【1】=【Ⅰ】= 【0】=【A】；
　　　 查到：
     【#A|bB】=【—5】；
　　　 相对位置编号 ：
　　　 x=【#A|bB】=【—5】；
　　　由已知条件 “a1的频率是440 赫兹” 得到：
　　　F =440   赫兹。
　　　x=—5；请读者注意！需要转换成对应的正值才能参与运算。
　　　x=12+（—5）=+7【注2】；必须理解它的理论根据！
　　　代入公式y=F× 2∧(((x×7) mod 12)/12)得到：
　　　y= 440 × 2∧(((7×7）mod 12）/12）
　　　y= 440 × 2∧((49mod 12）/12）
　　　y=440 × 2∧（1/12 ）； 在计算器上计算。
　　　y=466.163761518  赫兹。
　　　这个结果也与书理论值相同。
　　　
　　　范例4、在钢琴上标准A的频率为440 赫兹，求解中央C 的频率值。
　　　
　　　解决过程如下：
　　　查阅《音乐理论基础》第4页标准 A 在小字一组的a1，中央C在小字一组的c1。
　　　“音乐理论宝典”初始化：
　　　【root】=【1】=【Ⅰ】= 【0】=【C】；
　　　把已知条件 a1 送上“音乐理论宝典”A 塔板的音名A。把 c1 送上“音乐理论宝典”A 塔板的音名C。
　　　顺时针移动 B、C、D塔板 90度得到：
　　　【root】=【1】=【Ⅰ】= 【0】=【A】；
　　　 查到：
     【C】=【—3】；
　　　 相对位置编号 ：
　　　 x=【C】=【—3】；
　　　由已知条件 “a1的频率是440 赫兹” 得到：
　　　F =440   赫兹。
　　　x=—3；需要转换成对应的正值才能参与运算。
　　　x=12+（—3）=+9；
　　　代入公式y=F× 2∧(((x×7) mod 12)/12)得到：
　　　y= 440 × 2∧(((9×7）mod 12）/12）
　　　y= 440 × 2∧(63mod 12）/12）
　　　y=440 × 2∧（3/12 ）； 在计算器上计算。
　　　y=523.2511306011 赫兹。这个结果并不是中央C即 c1的频率值，理论根据是中央C （c1）与标准A在同一个八度内而且其频率低于标准A，现在得到的是y=523.2511306011 赫兹大于F =440 赫兹。所以现在的y=523.2511306011 赫兹不是中央C（c1） 而是高八度的c2的频率值。那么c1的频率值如何计算呢？
　　　y ÷ 2= 523.2511306011 ÷ 2=261,6255653005赫兹。
　　　261,6255653005赫兹就是中央C（c1）的频率值。
　　　推论：在钢琴键盘上如果已知y在F左则而得到频率 y>F，说明计算出的y 是高八度需要除以2 恢复原位。
　　　另一种计算方法先求出 a （低八度小字组a）的频率：
　　　F=440 ÷ 2 =220 赫兹。
　　　代入公式得到：
　　　y=220 × 2∧（3/12 ）； 在计算器上计算。
　　　y=261,6255653005赫兹；结果完全相同。
　　　
　　　范例5、主音A 的频率是440赫兹 。求属音的频率值。
　　　
　　　解决过程如下：
　　　“音乐理论宝典”初始化：
　　　【root】=【1】=【Ⅰ】= 【0】=【C】；
　　　从音乐理论平台上能够得到组态的属——主关系是纯五度下行，因此属音是 E 。
　　　顺时针移动 B、C、D 塔板 90度得到：
　　　【root】=【1】=【Ⅰ】= =【A】；确定主音【Ⅰ】= 【A】编号是【0】。
　　　 属音是主音的上行纯五度，在《音乐理论宝典》上得到E 并查到：
     【E】=【+1】；属音是【E】编号是【+1】。
　　　 因此x的相对位置编号 ：
　　　 x=【E】=【+1】；
　　　由已知条件 “a1的频率是440 赫兹” 得到：
　　　F =440   赫兹。
　　　x=+1；
　　　代入公式y=F× 2∧(((x×7) mod 12)/12)得到：
　　　y= 440 × 2∧(((1×7）mod 12）/12）
　　　y= 440 × 2∧((7mod 12）/12）
　　　y=440 × 2∧（7/12 ）； 在计算器上计算。
　　　y= 659.2551138257 赫兹。十二平均律上主音A的属音频率。
　　　
　　　y=F× 2∧(((x×7) mod 12)/12) 这个公式的正确性已经得到证明而且不复杂也不难记，只不过它是音乐理论平台理论体系的专用公式不能使用在西方古典音乐理论范围内，也不能被其它音乐流派所引用，所以目前还不能在学院派教学实践中得到解答。
　　　由于音乐理论律制真实的研究对象主要不是声音的振幅、相位等等而是声音的变化过程。比如，在钢琴上按 c1、d1和e1键可以听出do、re、mi、的声音变化过程，当重新按d1、e1和f1时听到的也是do、re、mi的声音变化过程，如果按 d2、e2和f2时听到的还是do、re、mi的声音变化过程，这就是十二平均律相等比值所产生的结果，因此它适合转调,但是它也存在某些不足【注3】。
　　　
　　　【注1】在类似的计算中不可能始终保持在12 个半音音程之内，如果出现超越12 个半音音程必须经过第二次修正计算还原到12 个半音音程之内。
　　　【注2】理论来源参考《和声法则》第三十讲【注7】。
　　　【注3】与纯律相比属音的频率有少许误差，主要表现在十二平均律的“2∧7/12”部分与纯律 3/2 的差别。在《音乐理论基础》第11页 例 8 图中给出的十二平均律属音 700 与 1200 的比值，这个数值700 是书中的音分值，也是范例5 的 7/12。而纯律属音频率值F×3/2，把它折合成十二平律的比值关系就是书中给出的702 相当于 702/1200，而702是一个近似值实际还有很长的小数，明显看出与十二平均律的差别，纯律的属音效果更为突出而十二平均律稍差。
　　　
　　　
　　　

qyjs

拜读了，老师从12平均律的角度又一次证明了《音乐理论平台》和《音乐理论宝典》的科学性和实践性，受益匪浅。谢谢！

dongyu20000

慢慢消化，慢慢学习。先谢谢老师了。

凯旋篇

老师，您太有才了！

scz

凯旋篇 发表于 2014-3-29 08:37
老师，您太有才了！

　　多谢！您过奖了，笔者算什么“有才”。
　　查了一下您是浙江绍兴府人氏，浙江乃至整个江南多为出才子之地。前清有状元之258 年里共产生112位文状元，江南诸省占有绝太多数其中你们浙江有20 位状元可谓数量可观。由此有位江南文人写出了“真山真水真才子”的名句，并引出了北方名人王尔烈的下联“一天一地一圣人”。
　　
　　
　　

erli

您太有才了！