《和声法则》第三十八讲 音乐理论平台上建立音数计算公式

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音程概念是和声理论必备的基础之一，有关音程的概念在《从音程计算看音乐理论平台》一文中有过详细介绍，如果自认为概念存在某些问题建议重新阅读上文。其中有别于西方古典音乐理论的内容是以阿拉伯数字表示在音乐理论平台上的简谱唱名代表音程的度数。简谱唱名表示音程的理论含义是以唱名1（Do）为根音其它唱名为冠音的音程，如：简谱唱名为7，那么7表示冠音的音程就是以1（Do）为根音的大七度音程。规定七个基本音级为大音程（其中 4和5及1称为纯音程），带有b号的变化音级称为小音程（其中b4和b5称为减音程）而带有#号的变化音级统称为增音程。如：对于以简谱1为根音来讲 简谱2是大二度、b2是小二度、#2是增二度而#4|b5 称为增四|减五度音程。由此而来的是运用解析法求解音程，而不是采用列表格的方式查找音程。事实上到目前为此除《和声法则》之外的所有教程都是采用翻书查找或者死记硬背方式得到音程，这种事实上的存在说明传统音乐理论的影响极为深刻。
下面以实例说明如何使用音乐理论平台计算音程，这些范例取材于学院派音乐基础教程的课后习题。学院派的读者可以运用范例中的解题方法在课堂上回答先生的类似问题，虽然与先生要求的解题方法不一致也不应当被视为作弊。如果读者还是担心，笔者出个主意，有位朋友早年是火车司机配发了一块欧美茄怀表看起来数字大小非常人性化，读者完全可以把音乐理论宝典做成怀表大小避开先生的视线，总之笔者始终没有忘记还有哪么多的学院派读者。

范例1、说出下列音程是何种音程。【注1】
C到 G、#C到G、bC到 #G（笔者注：从根音到冠音）。

从根音C到冠音G 音程求解过程如下：
音乐理论宝典初始化：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【C】；
【#】=【7】=【变宫】=【+5】=【Ⅶ】=【B】；
【b】=【4】=【清角】=【—1】=【Ⅳ】=【F】；
初始化状态中存在【1】=【C】明确简谱的“1”已经指向了根音C。
只移动D塔板使【ROOT】指针指向冠音G，立即在音乐理论宝典上得出：
【ROOT】=【5】=【+1】=【Ⅴ】=【G】；其中的【5】=【G】表示简谱的 5 是冠音 G的章程，这个简谱唱名 5 就是C到 G的纯五度音程。过程简单只移动一次音乐理论宝典。

由范例1从根音C到冠音G音程的求解能够看出它的具有定理意义的运算规律：

简谱唱名 1 指向根音而【ROOT】指向的冠音所对应的简谱唱名就是其音程的度数表达。

这个运算过程十分简单可靠并且只能在音乐理论平台上进行运算，所以西方古典音乐理论是不可能出现上述计算方法只能采用死记硬背。

从根音#C到冠音G 音程求解过程如下：
音乐理论宝典初始化：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【C】；
【#】=【7】=【变宫】=【+5】=【Ⅶ】=【B】；
【b】=【4】=【清角】=【—1】=【Ⅳ】=【F】；
移动A塔板使简谱唱名1指向根音 #C：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【#C】；其中包含【1】=【#C】。
只移动D塔板使ROOT指向冠音G得到：
【ROOT】=【b5|#4】=【bⅤ|#Ⅳ】=【—6|+6】=【G】；其中包含【b5|#4】=【G】。
冠音G指向简谱唱名 b5，所以音程为减五度（五度只有增、减没有大、小）也可以认定增四度音程（#4) 包含增四度含义，同一个音程两种不同的表达方式存在着不完善之处，这样的理论漏洞给后序和弦概念带了某些理论上的疑点，后续将分析这个问题。需要移动两次音乐理论宝典。

从根音bC到冠音#G 音程求解过程如下：
音乐理论宝典初始化：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【C】；
【#】=【7】=【变宫】=【+5】=【Ⅶ】=【B】；
【b】=【4】=【清角】=【—1】=【Ⅳ】=【F】；
移动A塔板使简谱唱名1指向根音B( 请读者高度注意！bC=B)：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【B】；其中包含【1】=【B】。
.只移动D塔板使ROOT指向冠音#G得到：
【ROOT】=【6】=【Ⅵ】=【+3】=【bA|#G】；其中包含【6】=【#G】。
结果：从根音B（bC）到冠音#G是大六度音程。这个结果从表面上看与书中的答案（倍增五度）不同，实际上倍增五度就是大六度，造成这种歧义性的原因是bC与B是等音。先列举一个简单的例子，大六度音程是协和音程这是西方古典音乐理论所定义的内容，但它并没有说倍增五度音程也是协和音程从理论上讲不够严谨，可能会对初学者造成误解要力争改变这种一物多名在新的历史条件下成为一物一名。需要两次移动音乐理论宝典。

范例2、在下面所给音的上方构成指定音程。【注2】
根音为 D的小七度、根音为D的增六度、根音为D的小九度。

根音为D 的小七度求冠音。
音乐理论宝典初始化：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【C】；
【#】=【7】=【变宫】=【+5】=【Ⅶ】=【B】；
【b】=【4】=【清角】=【—1】=【Ⅳ】=【F】；
只移动A塔板使【1】指向根音【D】，得出：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【D】；
只移动D塔板，使【ROOT】指向C塔板小七度的标志“b7”，得到：
【ROOT】=【b7|#6】=【—2】=【bⅦ|#Ⅵ】=【C】；
  D为根音小七度音程的冠音是C。

以D为根音的增六度（#6）求冠音。
音乐理论宝典初始化：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【C】；
【#】=【7】=【变宫】=【+5】=【Ⅶ】=【B】；
【b】=【4】=【清角】=【—1】=【Ⅳ】=【F】；
只移动A塔板使【1】指向根音【D】，得出：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【D】；
只移动D塔板，使【ROOT】指向C塔板增六度的标志“#6”，得到：
【ROOT】=【b7|#6】=【—2】=【bⅦ|#Ⅵ】=【C】；
D为根音增六度音程的冠音是C，请读者注意！C=#B，书中的答案是#B。

求以根音为D的小九度音程的冠音。
小九度是复音程，折合成单音程是小 9—7=2为小二度音程【注3】。
音乐理论宝典初始化：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【C】；
【#】=【7】=【变宫】=【+5】=【Ⅶ】=【B】；
【b】=【4】=【清角】=【—1】=【Ⅳ】=【F】；
只移动A塔板使【1】指向根音【D】，得出：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【D】；
只移动D塔板，使【ROOT】指向C塔板小二的标志“b2”，得到：
【ROOT】=【b2|#1】=【—5】=【bⅡ|#Ⅰ】=【bE|#D】；
D为根音小九度（小二度）音程的冠音是bE|#D，请读者注意！书中的答案是bE。

范例3、已知冠音#F根据指定音程增十一度求根音。【注4】

增十一度是复音程，折合成单音程是增11—7=4【注5】为增4（#4）度音程。
音乐理论宝典初始化：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【C】；
【#】=【7】=【变宫】=【+5】=【Ⅶ】=【B】；
【b】=【4】=【清角】=【—1】=【Ⅳ】=【F】；
只移动D塔板使【ROOT】指向C塔板上【b5|#4】表示指定冠音增四度音程得出：
【ROOT】=【b5|#4】=【bⅤ|#Ⅳ】=【—6|+6】=【bG|#F】；得到冠音#F刚好指向增十一度音程的标志 #4。锁定音乐理论宝典并计算结果：
【1】=【0】=【Ⅰ】=【C】；其中【1】=【C】表示根音。
所以根音是 C ，与书中结果一致。

上述三道范例无一例外的都是采用把问题送上音乐理论平台通过简单移动运算得出的结果，过程简洁思路清晰根本不需要死记硬背或者类似于查字典一样去查找教程得到结果。同时也暴露出一物多名的问题在同一个音程存在两个度数表达。这种现象产生的根源是西方古典音乐理论的基本音级的定义，这样的定义很大程度与突出大小调式的七声有关而只保留七个有独立名字的音级而另外五个是带有歧义性的双重名字。在西方古典理论中有关音程和弦等的定义均采用这种方式,造成理论上的缺陷，仅举一个例子就可以说明这个问题。

范例4、写出C 为根音的小三和弦，分析内部结构。

以C为根音的小三和弦是Cm，内部构成音是C、bE、G。根音C到 三音bE 是小三度而bE到G是大三度，两个三度叠置关系的完全符合三和弦的定义【注6】。但是三音bE是一个具有双重音名的音级，另外一个音名是#D。按理说用#D替换bE构成 C、#D、G与原有的Cm效果相同也应当是小三和弦，但是C到#D的音程已经不是三度而是增二度，这样一来明显不符合教程中对三和弦的理论定义。虽然人为的加入了一个“等音程”的概念可是在和弦定义中并没有指明可以使用等音程。音程的计量单位有两种一种是“度数”它的产生与七声音阶有关，目前学院派所使用的就是这一类，它是以级数为基础，由于有的级数差是全音有的是半音因此这一类计量单位是非线性的。第二类音程计量单位是“音数”，都是以半音作计量单位所以它是线性变化不存在双重名字问题。这两种计量单位都可以用来计量音程，但是由于传统音乐理论从七声出发已经习惯使用“度数”计量音程已经很难改为使用“音数”来计算。另外一个原因两套计量单位之间没有形成简单的转换关系限制了“音数”在音程上应用。比如用“音数”定义小三和弦：音数1 又 1/2叠加音数2 。是不可能产生任何歧义性。人类所使用的众多计量单位都存在相互间简单的转换关系，如:中国的市尺与公尺英尺等等都有固定的转换公式，唯独音乐理论中的音程的两种计量单位之间始终没有产生公式形式的转换手段。在《和声法则》的研究过程中借助于音乐理论平台已经找到了从“度数”运用公式计算出“音数”的方法，不再使用类似于《音乐理论基础》第95页以查找数学手册的方式查找出“音数”。计算“音数”的公式产生是经过了艰苦努力已经在多年前完成了，这其中包含如何让读者在使用上更方便更可行更简单这样的优化过程占去了相当多的时间。之所以多年来一直没有公开主要考虑这样的公式应当由知名的音乐家音乐大师来完成可以有助于应用及推广，等了多年也没有发现想象中的内容出现。时间不等人岁月不饶人现在就向读者介绍如何不用查书而是直接通过公式计算求解出所要求的“音数”。
有几点基础知识先重复一下：
音乐理论宝典共包括如下几个部分，简谱唱名、五线谱的音名，罗马音级、民族五声及位置编号和和弦计算。其中简谱唱名具有表示音程度数的功能，已经在前面作过介绍。在音乐理论宝典上并没有任何有关“音数”的蛛丝马迹，所以普遍认为在音乐理论宝典上不可能与“音数”有丝毫瓜葛，这篇文章就要使“不可能”变为“可能”，并以《音乐理论基础》中的具体问题来计算它的“音数”，通过对比了解运用公式计算“音数”的奇妙之处。

介绍音数计算公式：

y=(3·5×n) mod 6【注7】；

参数介绍：
3·5（数学上的三点五）就是3 1/2        即三又二分之一，也就是纯五度的“音数”值。
n是变量，音乐理论宝典上的位置编号值，只能是正整数如果是负数必须转化为正数（如何转化为正数在《和声法则》相关章节有详细介绍），是一个输入的数值也称作自变量。
mod求余数运算。（有关求余数运算在《和声法则》相关章节已经介绍)
6 是纯八度的音数值是个常数。
y是函数其值是“音数”。

下面以实例介绍公式使用并验证运算结果，要求读者准备手中的《音乐理论宝典》，如果某些读者没有《音乐理论宝典》必须自行制作，《音乐理论宝典》制作方法已经在《和声法则》中详细介绍过。读者应当理解公式含义不要死记硬背具体范例。

范例5、计算根音是F冠音是bA音程的度数和音数【注8】。

求解过程如下：
音乐理论宝典初始化：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【C】；
【#】=【7】=【变宫】=【+5】=【Ⅶ】=【B】；
【b】=【4】=【清角】=【—1】=【Ⅳ】=【F】；
只移动A塔板使【1】指向根音【F】，产生如下结果：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【F】；包含有【1】=【F】。
只移动D塔板使【ROOT】指向冠音【bA】得到：
【ROOT 】=【b3|#2】=【—3】=【bⅢ|#Ⅱ】=【bA|#G】；其中包含【b3|#2】=【bA|#G】简化【b3】=【bA】，表示冠音bA对应简谱唱名b3。计算出位置编号是【—3】。
结果；根音F冠音bA的音程是小三度(b3表示小3度)。
下面计算音数：
已经求出根音F到 冠音bA的音程是b3（小三度）而它所在位置编号是【—3】，需要把【—3】转换为正数：
n=12+(—3)=9。
代入公式：y=(3·5×n)mod 6。
y=(3·5×9)mod 6
y=31·5 mod 6
y=1·5。
结果：音数是1·5即1  1/2 也就是一又二分之一。与书中结果惊人的一致表明小三度音程的音数是1·5即1  1/2。请读者注意！其结果与书中惊人的一致。

范例6、计算根音是F冠音是B音程的度数和音数【注9】。

求解过程如下：
音乐理论宝典初始化：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【C】；
【#】=【7】=【变宫】=【+5】=【Ⅶ】=【B】；
【b】=【4】=【清角】=【—1】=【Ⅳ】=【F】；
只移动A塔板使【1】指向根音【F】，产生如下结果：
【ROOT】=【1】=【宫】=【Ⅰ】=【0】=【F】；包含有【1】=【F】。
只移动D塔板使【ROOT】指向冠音【B】得到：
【ROOT 】=【b5|#4】=【—6|+6】=【bⅤ|#Ⅳ】=【B】；其中包含【b5|#4】=【B】，表示冠音对应简谱唱名对对应的简谱唱名为b5|#4。音程为减五度或增四度。计算出位置编号是—6或+6。
结果：根音为F冠音为B的音和是减五度或增四度。
计算音数：
已经求解出冠音的位置编号是—6或者是+6。
可以确定： n=+6。
代入公式： y=(3·5×n)mod 6。
y=(3·5×6)mod 6
y=21 mod 6
y=3。
结果：根音为F冠音为B的音程音数为3。请读者注意！其结果与书中惊人的一致。

以上两个范例的运算结果与教程是一致的，读者完全可以举一反三的解答任何传统音乐理论基础中的类似习题，彻底放弃了查书和死记。由于公式的推导和产生经过了多年实践和数次优化已经没有改动的必要。它的理论基础是建立在音乐理论平台上，可以看出音乐理论平台不仅是解决音乐问题的友好平台也是创新发展音乐理论完善的基础设施。

【注1】摘自任达敏著《流行音乐与爵士音乐和声学》第8页练习一（一）说出下列音程是何种音程。1、3、5题。原题为五线谱。书中第6 页写出了各种常用音程的罗列读者是可以从中查找是一种传统的得到音程的方法。
【注2】摘自任达敏著《流行音乐与爵士音乐和声学》第8页练习一（二）在下面所给音的上方构成指定音程。2、4、6三题。
【注3】参看李重光《音乐理论基础》第99页。
【注4】摘自任达敏著《流行音乐与爵士音乐和声学》第9页练习一（三）10。
【注5】复音程=单音程+7 的关系是成立的，只不过在《音乐理论基础》中没有明确表示，在第99 页例170 隐含了这层关系。
【注6】查看成李重光《音乐理论基础》第132页中的三和弦定义。
【注7】音数计算公式：y=(3·5×n) mod 6 是建立在音乐理论平台基础上，因此它不可能出现在任何西方古典音乐理论之中，到目前为止除《和声法则》还没有发现任何其它参考文献存在上述音数计算公式。
【注8】摘自李重光《音乐理论基础》第95页4。
【注9】摘自李重光《音乐理论基础》第95页7。

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