看到有不少人讨论律制，发一个简单的解释

icefox1983

很多人看了律制会头晕，什么纯律五度相生律12平均律之类。我发个简单地解释，从12平均律出发，应该能让大家轻松理解率制。

首先，音乐之美在于共鸣。所有所谓“河蟹音”都是有较强共鸣效果的音的组合，否则就不河蟹。何谓共鸣？真正的共鸣，是指一根静止的弦，在周围空气的振动（声音）影响下，如果声音的频率与弦的固有频率相同或很接近（比如就是同样的另一根弦振动发出的声音），则会吸收声音能量自己也开始振动。看到这里，大家可能会奇怪，那河蟹音不就都是一样的音了吗？不然，看下面的解释。

关键之处在于泛音。声音就是振动，而振动的物理模型就是弦（也是大多数乐器的发音机理）。弦的振动可以用一个二阶偏微分方程描述，其解就是振动的状态，但这个方程的解不是一个，而是一族！虽然听起来抽象，但想象起来是很简单的。一跟弦两端固定，中间上下振动，是最基本振动方式，其频率称为基频或基音。但想象一根弦，中点被一颗钉子固定下来，两侧的弦一上一下地振动（形成s和反s状，别想到frjj）。其实这样的弦等于两根半长度的弦，其固有频率会是基频的两倍。但是，当开始这样的振动后，把固定中点的钉子去掉，会怎样呢？不会有任何变化，因为s状的弦完全对称，两边的张力会抵消，使得中间一点根本不受力，因此仍然固定在原处！到了这里大家应该能猜到了，没错，其实一根弦在振动的时候，除了标准的全弦振动，还有第二级的半弦振动存在。仅此而已吗？不，甚至还有固定1/3，2/3点的三级振动（现在弦任意时刻形状都类似w和m），频率4倍(2^2)，固定1/4, 1/2, 3/4三点的四级振动（弦看似双s），频率8倍（2^3），以及五级六级直至无穷级的振动形式。这些二级以上振动的发音，统称泛音，但通常其能量（音量）会随级数增长而快速衰减。所以，即使一根最普通的弦振动，发出的其实不是一个频率的声音，而是以它为主、辅以无穷个2^n倍频率的泛音。在提琴和吉他上，有控制基音不发声，只发偶数级泛音的技法，称为泛音奏法，其实很简单，把一个手指轻轻放在某弦的1/2处然后弹奏，或者弹奏后再放手指。现在它的原理应该很清楚了，就是阻止一切非偶数级泛音的振动，但却不影响偶数级泛音。

联系泛音和共鸣，大家现在应该明白，如果两条弦各自长度的某个简单分数（比如1/3和3/4）相等，它们也能共鸣，只是共鸣强度较低（因为高级泛音能量较低），而且这个分数分母越大共鸣就越弱。

现在讲解12平均律。考虑一组12跟弦，最长的一根长度为2，最短一根长度2开12次根号，其他弦长组成等比数列。显然，第n根弦长度公式为2^(n/12)，n=1到12。每根弦长计算结果如下，括号里是约等的简单分数

1：1.059463094
2：1.122462048
3：1.189207115 (6/5)
4：1.25992105 (5/4)
5：1.334839854 (4/3)
6：1.414213562 (7/5)
7：1.498307077 (3/2)
8：1.587401052 (8/5)
9：1.681792831 (5/3)
10：1.781797436
11：1.887748625
12：2 (2/1)

大家会发现，12个音里，有八个都很接近简单分数。这很有利于共鸣。比如弦5的1/4与弦9的1/5长度相同，会出现共鸣；弦7的1/3与弦12的1/2长度相同，会出现共鸣。其实，从12倒数到1，就是12平均律里从c到b的频率关系。以弦12为标准c，则9对应小三度，8对应大三度，7对应4度，5对应5度，3对应6度：和声学里最河蟹的和声组合，都在这个计算里明确出来了。特别是5度（转位后等同于4度），被称为除8度外最和谐的共鸣，其根本原因就是弦7有最小的分母(3/2)。

12平均律最大的好处就是频率呈等比数列。由于这个原因，随便选一个音作为c，往上数12个音的频率关系就与我们计算的完全相同，换句话说任何曲子转任何调后听起来效果都与原调完全一样（相对效果一样，绝对音高当然不同了），巴赫为推广12平均律，就写了不断转调最后转回原调的12平均律组曲，用其他调律都不会有如此自然的感觉。而12平均律的缺点，当然就在与上面的数字与括号里数字的区别：共鸣不是完美的。好在混沌数学里证明过，即使弦长不完全相等，只要足够接近，共鸣就会足够强烈，所以现在我们听12平均律乐曲也并不会感到任何不河蟹。

现在再解释纯率、五度相生率等任何其他律法都很简单了。它们的做法，就是确定一个c的音高，然后选定上面某个音高（比如五度或大三度），用括号里的比例取代12平均律里的比例进行计算。由于这样计算的会造成8度不是完美的2倍频率关系的结果，许多律法还要进行调整，但基本思想就是如此。但是，与其把完美的和声带来的误差堆积起来成一个很明显的不河蟹音，还不如把误差铺散在12个音阶之间，反而更不容易听出，再说较小的误差不会太影响共鸣，但堆积起来一个大的误差就很影响了。就是因为这个原因，现代理论里12平均律已经成为调音的标准。

关于率制这东西，追求数学和音乐理论上的完美的确不错，但很多人非说纯率才是绝对美好的，12平均律听起来就不和谐，我真想邀请这样几位高人做个双盲试验。我仔细听了sp250的古典率音色，虽对比之下能听出来与12平均律不同，但差异绝对微乎其微，特别是在中音区。让我辨听哪个是古典率，我肯定做不到。再说真正乐器调音时，乐器的误差、调音者自己的误差、温度湿度的变化等等，其影响早就大于律制的差异，因此更不用苛求所谓“完美”的律法。据我所知，吉他和提琴都用泛音调音法，其本质类似于纯律，但我也从没听说过提琴与钢琴合作的时候会有不河蟹。另外，钢琴调音时因为人耳对极高和极低音的敏感度下降，在两段还会故意把高音调高点、低音调低点，那时已经无所谓河蟹了，因为人耳都快辨别不出频率差异了。

还有人说12平均律为什么非要和纯率差一点点，多可惜？我的想法正好相反，12平均律能如此接近纯率已经太不容易了！我还就此写过一篇论文，讲述12这个数的神奇之处。我从5测试到24，其他任何数字产生的平均律都不能有12平均律那么河蟹（有那么多接近简单分数的频率关系）。我还见过24平均律写作的乐曲，youtube上就有，但那些明显是实验性质的，任何人也不会觉得24平均律比12平均律更河蟹。

kaikai

讲得真好，基本明白了。
想看楼主的论文，不知可以不？呵呵

何兄

纯律和谐度最好,但是把钢琴弄成纯律超级怪异,而且转掉超级麻烦

icefox1983

论文内容跟这个类似，就是多些数学。可惜硬盘坏掉的时候已经丢了

唐伯猫

原帖由 icefox1983 于 2007-11-6 00:54 发表
很多人看了律制会头晕，什么纯律五度相生律12平均律之类。我发个简单地解释，从12平均律出发，应该能让大家轻松理解率制。

首先，音乐之美在于共鸣。所有所谓“河蟹音”都是有较强共鸣效果的音的组合，否则就不河 ...

写得很好。。。
但是24平均律也不能说是试验性的，，，阿拉伯人的音乐进化到后来就导致了24平均律。。。
另外，，，对于电子乐器，，，由于频率的基础来自于Crystal振荡器，，，通常一个20ppm的晶振零售才1元RMB，所以人工律和自然律对于它而然相当容易实现。。。
如果说人工律的误差不太容易听出，，，这个可不一定。。。对于泛音比较丰富的乐器，，，还是有感觉的。。。关键是要对比。。。
现在大家听到的乐器几乎都是12平均律的了。。。对于普通人已经不再讲究这个了。。。

巴赫对平均律的推广，，，贡献是巨大的，，，虽然平均律不是他发明的。。。

唐伯猫

原帖由 icefox1983 于 2007-11-6 11:09 发表
论文内容跟这个类似，就是多些数学。可惜硬盘坏掉的时候已经丢了

您是学数学的？？？

何兄

12平均律还是朱元璋的后代发明地,中国人强啊

唐伯猫

原帖由 何兄 于 2007-11-6 11:29 发表
12平均律还是朱元璋的后代发明地,中国人强啊

真的？？？

kider

“十二平均律”是世界乐律学史上一个重大的发明创造。它最早是由我国明代的大乐律家朱载堉提出的。
朱载堉兴趣广泛，尤其爱好乐律，经过长期的的刻苦学习，他精通了乐律、历学、度量衡、舞蹈等学科，为他在乐律学方面取得重大成就打下了坚实的基础。后来，潜心于乐律的研究，在总结前人经验的基础上，他于1584年写成了《律学新说》一书，提出和创造了现今乐器上使用的新律制——十二平均律。又经过阐明了十二平均律的问题。
我国早在商朝以前就有五声，即宫、商、角、徵、羽。后来，又增加了变徵和变宫两个半音，形了七声音阶，在七声的基础上，又产生了十二律，但这些都不是平均律，其相邻两间律间的音程不一致，因而不利于音乐的转调，也不利于乐器的演奏和制造。
朱载堉以公比为12√2的等比级数分配音律，使任何两个相邻音律间的频率比都是12√2，从而彻底地解决了旧律制所遇到的困难。由于相邻各音律间的等程性，使这种乐律对任何曲调都能应用，且转调自如，极利于曲调的创作和乐器的制造。

[ 本帖最后由 kider 于 2007-11-6 14:36 编辑 ]

icefox1983

我本科是学数学的，不过这个其实跟物理更接近。数理不分家么

有这回事啊，我都不知道
看wikipedia也这么写

Historically, there was Seven-equal temperament or Hepta-equal temperament practice in Ancient Music of China tradition,[1][2], but whether it is real equal temperament or not is a controversial topic in academic circles. Vincenzo Galilei (father of Galileo Galilei) may have been the first person to advocate equal temperament (in a 1581 treatise), although his countryman and fellow lutenist Giacomo Gorzanis had written music based on equal temperament by 1567. The first person known to have attempted a numerical specification for equal temperament is probably Zhu Zaiyu (朱載堉) a prince of Ming court, who published a theory of the temperament in 1584. It is possible that this idea was spread to Europe by way of trade, which intensified just at the moment when Zhu Zaiyu published his new theory. Within fifty-two years of Chu's publication, the same ideas had been published by Marin Mersenne and Simon Stevin.

唐伯猫

原帖由 icefox1983 于 2007-11-6 14:37 发表
我本科是学数学的，不过这个其实跟物理更接近。数理不分家么

有这回事啊，我都不知道
看wikipedia也这么写

Historically, there was Seven-equal temperament or Hepta-equal temperament practice in Ancien ...

看来朱元璋的后代有牛人啊。。。

唐伯猫

偶最早对律制有兴趣是高中那时候，，，可惜那时候没有Internet，，，信息不多。。。

前一段时间又看了一遍＜超弦＞（Superstring），，，对很多事情又有了很多有趣的理解．．．
这本９０年代的书对我影响真是很大的．．．

kkw

写得真好。

gzgznone

楼主的这个主帖非常好，极其简单明了的解释了12平均律和和声原理，使人读后受益匪浅。谢谢楼主好帖。